Hoe vliegt een vliegtuig

Liftkracht en Wrijvingskracht

Aërodynamica is in feite een uiterst ingewikkelde en moeilijke tak van de stromingsleer, maar als we afzien van alle moeilijke details, zijn de hoofdzaken ook voor gewone mensen goed te begrijpen.

Stroming van lucht op een vliegtuigvleugel. De vleugel krijgt een liftkracht omhoog en ondervindt een wrijvings kracht naar achteren.

Een vliegtuigvleugel heeft zo’n vorm dat lucht aan de bovenkant sneller langs de vleugel stroomt dan aan de onderkant. Volgens de wet van Bernoulli heeft lucht die met een lage snelheid stroomt een hogere druk. Dit betekent dus dat de druk van de lucht aan de onderkant van de vleugel hoger is dan aan de bovenkant. Het resultaat is een kracht verticaal omhoog: de liftkracht.
Daarnaast krijgt de vleugel ook een wrijvingskracht naar achteren. Als de liftkracht op de vleugels even groot is als de zwaartekracht op het vliegtuig, kan het vliegtuig horizontaal blijven vliegen.

Overigens is een beschouwing met de wet van Bernoulli niet het hele verhaal. De vleugel krijgt een kracht van de lucht omhoog. Dan moet volgens de derde wet van Newton (actie = – reactie) er een even grote naar beneden gerichte kracht van het vliegtuig op de lucht zijn. De vleugel duwt dus lucht omlaag en krijgt daardoor zelf een kracht omhoog. Achter de vleugel stroomt de lucht schuin naar beneden.

De grootte van de liftkracht is gegeven door de formule:

In deze formule is A het vleugeloppervlak, v de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de lucht, ρ de dichtheid van de lucht en de dimensieloze constante c_L heet de liftcoëfficiënt. De formule is eenvoudig, maar alle problemen van de aërodynamica zitten verstopt in de cL. De exacte waarde van cL hangt van allerlei details van de stroming van de lucht om de vleugels en de romp af. Details waar de specialisten in de vliegtuigbouw zich mee bezig houden. Behalve Liftkracht krijgt de vleugel ook een wrijvingskracht die door de volgende formule is te berekenen:

De betekenis van de letters is dezelfde als in de formule voor de liftkracht. c_D is de weerstandscoëfficiënt (de D is van het Engelse woord ‘drag’). Met windtunnelproeven en soms bij benadering door theoretische berekening kan men c_L en c_D bepalen.

De coëfficiënten zijn sterk afhankelijk van de zgn ‘angle of attack’ een soort invalshoek: de hoek tussen de koorde van de vleugel en de stroomrichting van de lucht.

In de figuur hiernaast is c_L en c_D gegeven als functie van de angle of attack. Tussen 0^o en 15^o neemt c_L flink toe, terwijl c_D ongeveer gelijk blijft. Maar boven 15^o daalt de liftcoëfficiënt sterk, terwijl de weerstand enorm toeneemt. Dit heet overtrek (stall in het Engels). De stroming van de lucht kan de vleugel niet meer helemaal volgen en aan de bovenkant ontstaan wervels. Overtrek is voor het vliegtuig een gevaarlijke situatie: de vleugel verliest een flink stuk van de liftkracht en krijgt veel weerstand. Als het vliegtuig laag vliegt, zou het bij overtrek kunnen neerstorten.

Volgens de grafiek is ongeveer 10^o een veilige angle of attack: er is voldoende liftkracht en het gevaar van overtrek is niet zo groot.

De verhouding c_L/c_D is bepalend voor de aërodynamische kwaliteit. Zij geeft ruwweg hoeveel draagkracht de vleugel heeft voor één newton weerstandskracht. Voor een zilvermeeuw is die kwaliteitsfactor ongeveer 12, voor een Boeing747 16 en voor een albatros 20. Een zweefvliegtuig of een super-ultralight zou misschien 35 kunnen halen.

Opschalen van een zilvermeeuw

Als een vogel/vliegtuig/vliegfiets horizontaal vliegt moet de lifkracht gelijk zijn aan de zwaartekracht, dus

Met behulp van deze formule kunnen we nagaan wat er gebeurt als we een zilvermeeuw met een massa van 1 kg opschalen tot een beest van 100 kg In de formule voor de liftkracht zijn alleen v en A variabel. Dus als m 100 keer zo groot wordt moet het product v² * A ook 100 keer zo groot worden. Als de massa 100 keer zo groot wordt, zal het volume ook 100 keer zo groot worden, want de dichtheid van de vogel zal wel niet echt veranderen. Dat betekent dat lengte, breedte en hoogte elk ³√100 = 4,6 keer zo groot worden. Het vleugeloppervlak Awordt dan 4,6² = 21,5 keer zo groot. En v² moet dan 100/21,5 = 4,6 keer zo groot worden dus v wordt = 2,15 keer zo groot.

Maken we de massa 100 keer zo groot, dan wordt
de spanwijdte 4,6 keer zo groot
de vleugeloppervlakte 21,5 keer zo groot.
En de snelheid moet 2,15 keer zo groot worden.

We passen dit toe op de zilvermeeuw. De zilvermeeuw heeft een massa van 1 kg en een spanwijdte van 1,4 meter, een vleugeloppervlakte van 0,2 m² en een kruissnelheid van 12 m/s. Een 100 keer zo zware meeuw krijgt een spanwijdte van 4,6*1,4 = 6,5 meter en een vleugeloppervlakte van 21,5*0,2 = 4,3 m² en de kruissnelheid moet dan 2,15*12 = 26 m/s =93 km/h worden. Als de aërodynamische kwaliteit gelijk gebleven is, dan is er bij de zilvermeeuw één newton weerstand voor elke 12 newton draagkracht. Dus een meeuw met ca 1000 N zwaartekracht krijgt 1000/12 = 83 N weerstand. Zijn nuttig vermogen is dan: F*v = 83 * 26 = 2,2.10³ W = 2,2 kW. Dit is noch door een mens noch door een vogel op te brengen. Het blijkt dat de knobbelzwaan (ca 10 kg, nuttig vermogen 200 W) ongeveer de zwaarste vogel is die normaal kan vliegen.

De Gossamer Condor

Paul McCready en zijn team begonnen het ontwerp van hun vliegtuig aan de andere kant. Het nuttig vermogen kon niet hoger worden dan 250 W. Zij gingen ervan uit dat vliegfiets + piloot niet méér mochten wegen dan 100 kg, dus het vliegtuig zelf mocht niet veel meer dan ca 30 kg wegen. Bij een aërodynamische kwaliteit van 20 (20 N draagkracht op een N weerstand) is de weerstandskracht dus 1000 N : 20 = 50 N. De stuwkracht van de propeller moet dus ook 50 N worden om met constante snelheid te kunnen vliegen. P = F*vdus 250 = 50*v, v = 5 m/s = 18 km/h. Het vliegtuig krijgt dus ongeveer de snelheid van een fiets.

Dan moet uiteraard blijven gelden dat:

Vullen we de getallen in dan krijgen we:

En c_L*A = 65 m². Als c_L ongeveer 1 is, is er een vleugeloppervlakte van ongeveer 65 m².

Een Boeing 747-400Een jumbojet heeft een gemiddelde massa van 320 ton (kan variëren, afhankelijk van de verbruikte brandstof). Zijn kruissnelheid op zo’n 10 km hoogte is ca 900 km/h = 250 m/s De dichtheid van de lucht is daar ongeveer 0,33 kg/m³ Invullen in de formule levert op:
c_L*1/2*0,33*250²*A=320.10³*9,8
En c_L*A=3,0.10²m² De vleugeloppervlakte is in werkelijkheid 540 m² dus de cL tijdens de vlucht is 0,56. De aërodynamische kwaliteit is 16 dus er is een weerstand van 320.103*9,81/16 = 1,96.105 N = 196 kN. Bij constante snelheid moet de motorkracht dus ook 196 kN zijn. Het nuttig motorvermogen moet dan zijn: P = Fmotor * v = 1,96.105*250 = 4,9.107 W = 49 MW Het rendement van de motoren van de B747 is ongeveer 50% (voor verbrandingsmotoren buitengewoon hoog!) We kunnen nu uitrekenen hoeveel brandstof nodig is voor een bepaalde vlucht. Voor een vlucht van Amsterdam naar Tokyo (9500 km) heb je 1,96.105 * 9,5.106 = 1,85.1012 J nuttige arbeid nodig. Bij een rendement van 50% heb je 3,72.1012 J chemische energie nodig, Een kg brandstof (kerosine) levert 42 MJ, dus je verstookt 3,72.1012/4,2.107 = 8,87.104 kg brandstof = 89 ton brandstof tijdens de kruisvlucht. Dit is overigens met de afdaling het zuinigste deel van de vlucht. Bij laag vliegen en klimmen en taxiën is het brandstofverbruik per uur aanzienlijk hoger.

De titel van dit stuk is ontleend aan het boek van prof. H. Tennekes, oud-hoogleraar vliegtuigbouw aan de TU-Delft. ‘de Wetten van de Vliegkunst’ (Aramith, Bloemendaal ISBN 90 6834 095 6) is begrijpelijk geschreven en zeer interessant. (Alleen zijn de notaties anders dan je op school leert, maar dat went snel genoeg). Misschien kan je het in de mediatheek van je school vinden.